Determination of some solutions of the stationary 2D Navier-Stokes equations

Abstract

In this paper, various solutions of the stationary Navier-Stokes equations, which describe the planar flow of an incompressible liquid (or gas), are determined, i.e., solutions containing the components of the velocity of flow - the functions u, v and the created pressure - P. The paper contains three proven theorems, as well as various examples and particular examined cases. Applying Theorem 1, we can find various solutions, where the velocity components represent the imaginary and real parts of a differentiable function of a complex variable. Theorem 2 allows us to determine solutions, where the velocity components are expressed by the partial derivatives of the solutions of Laplace's equation of a special form. It is to be mentioned that these theorems give us solutions that do not depend on the viscosity parameter λ. In theorem 3, an original method for obtaining a series of solutions of the Navier-Stokes equations is presented, in which the viscosity coefficient λ participates explicitly; these solutions cannot be obtained by applying Theorems 1 or 2. The paper contains a large number of particular cases examined and examples of exact determined solutions.

În această lucrare se determină diverse soluții ale ecuațiilor staționare Navier-Stokes, care descriu curgerea plană a unui lichid (sau gaz) incompresibil, și anume soluții ce conțin componentele vitezei fluxului de curgere - funcțiile u, v și presiunea creată – P. Lucrarea de față conține trei teoreme demonstrate și diverse exemple și cazuri particulare examinate. Aplicând teorema 1, putem afla diverse soluții, în care componentele vitezei reprezintă partea imaginară și cea reală a unei funcții diferențiabile de variabilă complexă. Teorema 2 ne permite să determinăm soluții, în care componentele vitezei sunt exprimate prin derivatele parțiale ale soluțiilor ecuației lui Laplace de o formă specială. Menționăm, că aceste teoreme ne oferă soluții ce nu depind de parametrul vâscozității λ. În teorema 3 este expusă o metodă originală de obținere a unui șir de soluții ale ecuațiilor Navier-Stokes, în care participă în mod explicit coeficientul vâscozității λ; aceste soluții nu pot fi obținute aplicând teoremele 1 sau 2. Lucrarea conține un număr mare de cazuri particulare examinate și exemple de soluții exacte determinate.